Medición del Radio de la Tierra

Con motivo del año internacional de la astronomía, en el 2009, diferentes centros educativos se pusieron de acuerdo para calcular la medida del radio de La Tierra utilizando los mismos procedimientos, Eratóstenes en el año 240 a.c, siguió para determinarlo aunque esta vez un año posterior. Pero ¿En qué consistía este experimento? ¿En qué se basó?.He aquí la respuesta:

Eratóstenes nació en Cyrene en el año 276 a.c. Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático. Eratóstenes fue un sabio de su época, docto y conocedor de todas las artes y las ciencias. Su principal contribución a la astronomía fue sostener que la tierra era redonda y estimar el radio de la tierra.

Era famoso, en aquella época que, en la ciudad de Siena(cuyo nombre proviene del material utilizado para construir los imponentes obeliscos que poblaban la ciudad), determinado día del año justo al llegar el mediodía, el Sol se reflejaba en el agua de un pozo, es decir, este día y a esta hora, El Gran Astro quedaba situado de forma vertical al agua. Contaban que los numeroso obeliscos de esta ciudad y otros objetos, en ese momento, no proyectaban sombra alguna. Eratóstenes no dejó pasar desapercibido este fenómeno y alentado por las célebres historias a cerca de que, un determinado día al año, los objetos no proyectaban sombra alguna, mandó a Siena, la actual Asuán (no confundir con la ciudad italiana dónde se celebran las famosas carreras de caballos entre las distintas contradas) a unos hombres con una propósito: Medir la distancia desde esta ciudad hasta Alejandría, allí donde él residía. Eratóstenes conocía que Siena se situaba aproximadamente en el mismo meridiano que la ciudad del conocido faro y de la famosa Biblioteca, segun lo que exponía el autor Dicearco en sus obras, y comprobó que, ese mismo día del año, no pasaba lo mismo allí: Aún siendo pequeña, los obeliscos proyectaban sombra. Con esto quedaba demostrada su teoría de que, La Tierra debía ser redonda, provocando distintas sombras en distintos lugares según como golpearan los rayos del Sol sobre la superficie de la esfera.

Después de descubrir esto, su voluntad fue la de hallar el radio de La Tierra y para ello, tras mucho meditar, ideó el siguiente método:

El día en el que el Sol caía perpendicular en la ciudad de Siena midió (con la longitud de la bara y de la sombra) el ángulo que formaban los rayos con un gnomon que había situado en su estudio de Alejandría. Comprobó, de nuevo, que el ángulo, además de ser independiente del tamaño de la bara utilizada, era distinto al de Siena. Midió ese ángulo y lo único que le faltaba para llevar a cabo sus cálculos era medir la distancia entre las dos ciudades, como ya hemos dicho antes. Así, envió a unos hombres en carro para que hiciera este recorrido. Durante el trayecto, los esclavos debían contar las vueltas que daba cada rueda, extender largar cuerdas a lo largo del camino, a contar pasos, etc. Deberían medir este trayecto una vez a la ida y otra a la vuelta, para obtener con mayor precisión los datos y así, determinar la distancia que había entre estas dos ciudades. El resultado obtenido fueron 5000 estadios, antigua unidad de medida, que equivalen a 787.5 kilómetros, aunque actualmente sabemos que Eratóstenes cometió algunas inexactitudes, pues la distancia real entre estas dos ciudades es de 729 kilómetros. Conociendo esta distancia Eratóstenes pudo proceder a desarrollar su modelo teórico.

Asumiendo que una línea que corta a dos rectas paralelas forma ángulos opuestos iguales, como podemos observar en la imagen superior. Este ángulo es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría, dato que hoy en día vemos más evidente por la división del planeta en meridianos y paralelos que tienen como unidad de medida los grados.

Por consiguiente, Eratóstenes dedujo que si lograba determinar el ángulo con el cual los rayos del Sol incidían sobre Alejandría ( sobre Siena los rayos incidían de forma perpendicular, por tanto el ángulo sería 0º), podría delimitar el radio terrestre.

Cuando nos propusieron la idea de calcular nosotros experimentalmente el radio de la Tierra, nos pareció una idea apasoniante, entre otras razones, una era el hecho de calcularlo utilizando el método que empleó Eratóstenes. Obviamente, nuestros materiales utilizados eran distintos. Nos dispusimos en el patio del colegio donde, unas horas antes del zénit solar, colocamos un papel minimamente grande y encima de éste un gnomon, con la finalidad de que la sombra de éste fuera proyectada sobre dicho papel. Situamos el papel con orientación norte por un simple motivo experimental. Ya que el sol sale por el este y se esconde por el oeste, si la orientación de este papel es otra, quizá las sombras proyectadas no sean en el papel sino en el propio suelo del patio. También, es importante marcar, donde situamos el gnomon, su contorno, para que en el caso de que se desplace, volver a colocarlo en su posición inicial y los datos sean válidos.

Los rayos del Sol incidía sobre este gnomon, y cada 5 minutos tomamos las medidas de las sombras del gnomon, en su punto máximo, para así poder observar su variación y movimiento con el paso de las horas, nosotros estuvimos aproximadamente de 2 horas y media.

A pesar de la realización de este experimento, se nos planteo un pequeño problema el mismo día de la realización, que fue que ese día no contamos con un día despejado, había unas pocas nubes cuyo efecto de difracción sobre la luz altera la resolución de la sombra proyectada sobre el papel. Por suerte, éstas eran altas y pudimos realizar la actividad sin grandes problemas. El resultado de las sombras era un arco, aunque tampoco fue excesivamente apreciable en nuestros resultados, esto se debe al movimiento de la tierra alrededor del Sol.

Posteriormente, tan posterior que en nuestro caso fueron días después, con los resultados obtenidos pretendimos trazar una mediatriz desde dos puntos a la misma distancia del gnomon. Al trazarla, el resultado sería la sombra más corta, por lo tanto podríamos calcular la hora solar.

Con la altura del gnomon, en nuestro caso era 78 cm, pudimos obtener el ángulo de los rayos del Sol, que es un dato vital a la hora de calcular el radio.

En este vídeo explican cómo realizar y realizar unos alumnos este experimento.

Con estos datos, ya podríamos empezar a realizar los cálculos para averiguar el radio de la Tierra.

El colegio que elegimos para comparar nuestros resultados es el Astileku Ikastola(Vizcaya), este colegio está situado a una latitud de 2º41'52''W, su cenit solar fue a las 13:18 con una inclinación de 44,47º. Nuestro colegio(Base, Madrid) se encuenta a una latitud de 3º33'12''W, nuestros grados de la inclinación fueron 41,04º y nuestro cenit fue a las 13:20:50.

Hay un pequeño fallo entre estos dos colegios, no se encuentran en el mismo meridiano, por tanto, los datos no serán tan válidos. Pero, ¿qué podemos hacer? Como ya sabemos, por cada grado que nos desplazamos el cenit solar varía 4 minutos.

La diferencia entre las latitudes es de 0,855º. Por tanto:

1º------------4min
0,855º-------x

x= 3,422 min de diferencia entre ambos colegios.

El Sol sale por el este y se esconde por el oeste, y como Vizcaya se encuentra más al oeste que Madrid, habrá que restarle estos minutos, y si fuera al revés se sumaría.

3,422min= 3 min 25seg (0,422·60)

13h18min--->13h21min25seg

Al cambiar la hora solar los grados con los que el Sol incide sobre dicho lugar varían.

13h18min=13,3h
13h21min25seg=13,356h

13,3h----------44,65º
13,356----------x

x=44,841º

Cuando ya conocemos los grados para Vizcaya suponiendo que se encuentra en el mismo meridiano que el Base, podemos seguir el procedimiento que siguió Eratóstenes.

90º-α= 90º-44,841º= 45,159º
90º- β= 90º-41,04º=48,96º

Diferencia angular= 48,96º-45,159º=3,801º

La distancia existente entre estos dos colegios es 310,10km, si para esta distancia hay una distancia angular de 3,801º, ¿para toda la esfera?

3,801º-------320,01km
360º----------x

x= 30309,707 km

Esta distancia sería el perímetro terrestre. Si el perímetro es igual a 2∏r.

r=30309,707km/2·∏ = 4824,235 km

Muy a nuestro pesar, como se puede observar, el dato difiere mucho del radio real de la Tierra. Esto puede ser causa de nuestro desfavorable e impreciso tiempo atmosférico, que hizo que nuestros datos no fueran exactos. Otra razón podría ser fallos en los datos del otro colegio, o en ambos.

Este experimento nos ha parecido realmente apasionante y curioso, a parte de no obtener el radio exacto, es interesantísimo realizar el mismo experimento que hizo Eratóstenes varios siglos atrás, tanto la parte experimental como la parte de cálculo.

Hora solar

Según se dice, la hora solar, es decir, en la que el Sol se encuentra en su zenit es a las 12 del mediodía. Pero por ejemplo, si observamos la hora que marca un reloj solar y la que marca un reloj digital no es la misma. ¿Esto por qué ocurre? ¿Por qué dependiendo del día, el mes, la estación del año y el lugar el sol no se pone a la misma hora? Si no se pone el Sol a la misma hora, por lo tanto, la hora solar tampoco será la misma. Esto hace que en realidad la hora solar y la real no coincidan, y la solar tampoco lo hace entre sus propias horas casi ningún día del año ni ningún día con respecto a ese mismo día el año siguiente aunque sea por ligeras diferencias. Esto ocurre porque el periodo de rotación de la Tierra no es constante, sino que varía tanto a corto plazo como a lo largo de los siglos.

Como culpable de este hecho tenemos dos fenómenos, uno es que el plano del Ecuador de la Tierra está ligeramente inclinado y la segunda es que la órbita terrestre alrededor del Sol es una elipse. Esto provoca que el Sol incida de distinta manera según donde se encuentre el planeta y su inclinación, esto es lo que hace que existan también las estaciones.

Con esto se crea una Ecuación del Tiempo gracias a la cual se puede determinar la diferencia existente entre la hora del ocaso y la de la salida del Sol. Viene determinada por el ángulo de oblicuidad entre el plano del Ecuador y la órbita de la Tierra. Por ejemplo, en los solsticios de verano e invierno este ángulo de oblicuidad es mínimo, ya que el Ecuador y la Eclíptica, órbita de la Tierra, están paralelos. Sin embargo, en los equinoccios de primavera y otoño se encuentra en su mayor ángulo. En los solsticios y los equinoccios el Sol se encuentra en el meridiano a las 12 del mediodía, por tanto en la Ecuación del Tiempo en estos momentos será cero.

Esta es la Ecuación del Tiempo:



Para poder conocer exactamente la hora solar de un lugar en un momento determinado debemos tener en cuenta unos parámetros: la longitud del lugar sobre la cual quieras saber la hora solar, la ecuación del tiempo y también si en ese momento hay horario de invierno o de verano.
Esta ecuación gracias a la cual podemos obtener esta hora es:

Hora real: hora solar (lo que decimos que es las 12 del mediodía)+corrección gubernamental (1 hora en invierno y 2 en verano, según el cambio horario)±corrección longitudinal (debemos sumar si estamos al oeste o restar si estamos al este del meridiano de Greenwich 4 minutos por cada grado)+corrección por Ecuación del Tiempo

Por ejemplo, Madrid se encuentra a una longitud 3º,45’ W y nos encontramos a día 23 de marzo, por lo tanto, estamos en horario de verano. 3º45’equivale a 15 minutos, porque 1º son 4 minutos y 45’ son 3, por lo tanto son 15 minutos.
La hora real sería: 12h+1(horario de invierno)+15 minutos +4 minutos= 13h 13minutos